黑龙江大学自然科学学报
黑龍江大學自然科學學報
흑룡강대학자연과학학보
JOURNAL OF NATURAL SCIENCE OF HEILONGJIANG UNIVERSITY
2007年
2期
195-198
,共4页
域%幂等性%对称阵
域%冪等性%對稱陣
역%멱등성%대칭진
field%idempotence%symmetric matrix
设F是一个域,Mn(F)是域F上的n×n矩阵空间,Sn(F)是Mn(F)中对称矩阵的全体.对Mn(F)中的任一线性子空间Ⅴ,记Ⅳ为Ⅴ中所有幂等元的集合.设Ⅴ∈{Sn(F),Mn(F)},对任意的A,B∈Ⅴ和λ∈F,如果A-λB幂等当且仅当Φ(A)-λΦ(B)幂等,则称映射Φ:Ⅴ→Ⅴ是保幂等性的.证明了:如果F的特征为0,Φ:Sn(F)→Sn(F),则Φ是一个保幂性映射当且仅当存在Mn(F)中的一个可逆阵P使得对Sn(F)中的每一个A都有Φ(A)=PAP-1,其中P满足PtP=αIn,α为F中的一个非零元.
設F是一箇域,Mn(F)是域F上的n×n矩陣空間,Sn(F)是Mn(F)中對稱矩陣的全體.對Mn(F)中的任一線性子空間Ⅴ,記Ⅳ為Ⅴ中所有冪等元的集閤.設Ⅴ∈{Sn(F),Mn(F)},對任意的A,B∈Ⅴ和λ∈F,如果A-λB冪等噹且僅噹Φ(A)-λΦ(B)冪等,則稱映射Φ:Ⅴ→Ⅴ是保冪等性的.證明瞭:如果F的特徵為0,Φ:Sn(F)→Sn(F),則Φ是一箇保冪性映射噹且僅噹存在Mn(F)中的一箇可逆陣P使得對Sn(F)中的每一箇A都有Φ(A)=PAP-1,其中P滿足PtP=αIn,α為F中的一箇非零元.
설F시일개역,Mn(F)시역F상적n×n구진공간,Sn(F)시Mn(F)중대칭구진적전체.대Mn(F)중적임일선성자공간Ⅴ,기Ⅳ위Ⅴ중소유멱등원적집합.설Ⅴ∈{Sn(F),Mn(F)},대임의적A,B∈Ⅴ화λ∈F,여과A-λB멱등당차부당Φ(A)-λΦ(B)멱등,칙칭영사Φ:Ⅴ→Ⅴ시보멱등성적.증명료:여과F적특정위0,Φ:Sn(F)→Sn(F),칙Φ시일개보멱성영사당차부당존재Mn(F)중적일개가역진P사득대Sn(F)중적매일개A도유Φ(A)=PAP-1,기중P만족PtP=αIn,α위F중적일개비령원.
Suppose F is an arbitrary field. Let Mn(F) be the linear space of all n × n matrices over F, and let Sn (F) be the subsets of Mn (F) consisting of all symmetric matrices. For a linear sudspace Ⅴof Mn ( F), we denote by Ⅳ the subset of Ⅴ consisting of all idempotence. Let Ⅴ ∈ { Sn ( F), Mn (F) } , a map Φ:Ⅴ→Ⅴ is said to preserve idempotence if A -λB is idempotent if and only if Φ(A ) -λΦ(B) is idempotent for any A, B ∈ Ⅴ and λ ∈ F. When the characteristic of F is 0, it is shown that Φ: Sn (F) →Sn(F) is a map preserving idempotence if and only if there exists an invertible matrix P ∈ Mn (F) with PtP = aIn for some nonzero scalar a in F such that Φ(A) = PAP-1 for every A ∈ Sn (F).