四川大学学报（自然科学版）
四川大學學報（自然科學版）
사천대학학보（자연과학판）
JOURNAL OF SICHUAN UNIVERSITY（NATURAL SCIENCE EDITION）
2006年
2期
281-284
,共4页
极大形因子%本原奇异数%LCM矩阵
極大形因子%本原奇異數%LCM矩陣
겁대형인자%본원기이수%LCM구진
greatest-type divisor%primitive singular number%LCM matrix
设S={x1,x2,…,xn}是由n个不同正整数的集合.以S中的任意两个元xi,xj,i=1,2,…,n,j=1,2,…,n的最小公倍数为i行j列元素的矩阵称为S上的最小公倍数矩阵(LCM矩阵),记为[S].S称为最大公因子封闭集(GCD closed),如果对于S中任意两个元xi,xj,它们的最大公因子(xi,xj)∈S.1992年,Bourque和Ligh猜想(以下简称BL猜想)GCD封闭集S上的LCM矩阵是非奇异的.1999年,Hong证明了该猜想对n≤7成立,但n≥8时不真,即对任意n≥8,存在GCD封闭的矩阵S使得Det[S]=0.为了进一步研究BL猜想成立的条件,2005年,Hong提出了GCD封闭集S上的奇异数的概念,一个数x称为奇异数,如果存在正数n≥8及GCD封闭集S={x1,x2,…,xn},x1＜x2＜…＜xn=x使得Det[S]=0.如果x不是奇异数,则称之为非奇异数.另外,x称为本原奇异数,如果x是奇异数,但x的任何非平凡因子均为非奇异数.Hong指出180是第一个本原奇异数.本文作者证明了270是第二个,从而定义在GCD封闭集S={x1,x2,…,xn},180＜xi＜270,i=1,2,…,n上的LCM矩阵是非奇异的.
設S={x1,x2,…,xn}是由n箇不同正整數的集閤.以S中的任意兩箇元xi,xj,i=1,2,…,n,j=1,2,…,n的最小公倍數為i行j列元素的矩陣稱為S上的最小公倍數矩陣(LCM矩陣),記為[S].S稱為最大公因子封閉集(GCD closed),如果對于S中任意兩箇元xi,xj,它們的最大公因子(xi,xj)∈S.1992年,Bourque和Ligh猜想(以下簡稱BL猜想)GCD封閉集S上的LCM矩陣是非奇異的.1999年,Hong證明瞭該猜想對n≤7成立,但n≥8時不真,即對任意n≥8,存在GCD封閉的矩陣S使得Det[S]=0.為瞭進一步研究BL猜想成立的條件,2005年,Hong提齣瞭GCD封閉集S上的奇異數的概唸,一箇數x稱為奇異數,如果存在正數n≥8及GCD封閉集S={x1,x2,…,xn},x1＜x2＜…＜xn=x使得Det[S]=0.如果x不是奇異數,則稱之為非奇異數.另外,x稱為本原奇異數,如果x是奇異數,但x的任何非平凡因子均為非奇異數.Hong指齣180是第一箇本原奇異數.本文作者證明瞭270是第二箇,從而定義在GCD封閉集S={x1,x2,…,xn},180＜xi＜270,i=1,2,…,n上的LCM矩陣是非奇異的.
설S={x1,x2,…,xn}시유n개불동정정수적집합.이S중적임의량개원xi,xj,i=1,2,…,n,j=1,2,…,n적최소공배수위i행j렬원소적구진칭위S상적최소공배수구진(LCM구진),기위[S].S칭위최대공인자봉폐집(GCD closed),여과대우S중임의량개원xi,xj,타문적최대공인자(xi,xj)∈S.1992년,Bourque화Ligh시상(이하간칭BL시상)GCD봉폐집S상적LCM구진시비기이적.1999년,Hong증명료해시상대n≤7성립,단n≥8시불진,즉대임의n≥8,존재GCD봉폐적구진S사득Det[S]=0.위료진일보연구BL시상성립적조건,2005년,Hong제출료GCD봉폐집S상적기이수적개념,일개수x칭위기이수,여과존재정수n≥8급GCD봉폐집S={x1,x2,…,xn},x1＜x2＜…＜xn=x사득Det[S]=0.여과x불시기이수,칙칭지위비기이수.령외,x칭위본원기이수,여과x시기이수,단x적임하비평범인자균위비기이수.Hong지출180시제일개본원기이수.본문작자증명료270시제이개,종이정의재GCD봉폐집S={x1,x2,…,xn},180＜xi＜270,i=1,2,…,n상적LCM구진시비기이적.
The authors prove a claim of Hong stating that 270 is the second least primitive singular number, and show the LCM matrix on a gcd-closed set S such that each element of S is strictly between 180 and 270 is nonsingular.
