四川大学学报（自然科学版）
四川大學學報（自然科學版）
사천대학학보（자연과학판）
JOURNAL OF SICHUAN UNIVERSITY（NATURAL SCIENCE EDITION）
2008年
3期
485-487
,共3页
幂GCD矩阵%幂LCM矩阵%gcd封闭集%整除性
冪GCD矩陣%冪LCM矩陣%gcd封閉集%整除性
멱GCD구진%멱LCM구진%gcd봉폐집%정제성
power GCD matrix%power LCM matrix%gcd-closed set%divisibility
Hong在2002年证明了如下结果:若S为gcd封闭集且|S|≤3,则在|S|阶整数矩阵环M|S|(Z)中,GCD矩阵(S)整除LCM矩阵[S].设e≥1为给定的整数.在本文中,我们给出了关于四元gcd封闭集S的充分必要条件,使得在环M4(Z)中,定义在S上的e次幂GCD矩阵(Se)整除e次幂LCM矩阵[Se].这部分解决了Hong在2002年提出的一个公开问题.
Hong在2002年證明瞭如下結果:若S為gcd封閉集且|S|≤3,則在|S|階整數矩陣環M|S|(Z)中,GCD矩陣(S)整除LCM矩陣[S].設e≥1為給定的整數.在本文中,我們給齣瞭關于四元gcd封閉集S的充分必要條件,使得在環M4(Z)中,定義在S上的e次冪GCD矩陣(Se)整除e次冪LCM矩陣[Se].這部分解決瞭Hong在2002年提齣的一箇公開問題.
Hong재2002년증명료여하결과:약S위gcd봉폐집차|S|≤3,칙재|S|계정수구진배M|S|(Z)중,GCD구진(S)정제LCM구진[S].설e≥1위급정적정수.재본문중,아문급출료관우사원gcd봉폐집S적충분필요조건,사득재배M4(Z)중,정의재S상적e차멱GCD구진(Se)정제e차멱LCM구진[Se].저부분해결료Hong재2002년제출적일개공개문제.
In 2002, Hong showed that for any gcd-closed set S with |S|≤3,the GCD matrix (S) on S divides the LCM matrix [S] on S in the ring M|S|(Z) of |S|×|S| matrices over the integers. Let e≥1 be an arbitrary given integer. In this paper, a necessary and sufficient conditions on the gcd closed set S with |S|=4 such that the power GCD matrix (Se)on S divides the power LCM matrix [Se] on S in the ring M4(Z) of 4×4 matrices over the integers is proved. This solves partially an open question raised by Hong in 2002.
