CAJ | 학술논문

设 p是给定的素数，运用初等数论方法证明了方程x3－53＝3 py2有适合gcd（x ，y）＝1的正整数解（x ，y）的充要条件是 p ＝ Q（27 a4＋45 a2＋25），其中a是正整数，Q（27 a4＋45 a2＋25）是27 a4＋45 a2＋25的无平方因子部分。由此可知，当 p ?7或13（m o d30）时，该方程没有适合gcd（x ，y）＝1的正整数解（x ，y）。
설 p시급정적소수，운용초등수론방법증명료방정x3－53＝3 py2유괄합gcd（x ，y）＝1적정정수해（x ，y）적충요조건시 p ＝ Q（27 a4＋45 a2＋25），기중a시정정수，Q（27 a4＋45 a2＋25）시27 a4＋45 a2＋25적무평방인자부분。유차가지，당 p ?7혹13（m o d30）시，해방정몰유괄합gcd（x ，y）＝1적정정수해（x ，y）。
Let p be a fixed prime .By using some elementary number theory methods ,it is proved that the equation x3 -53 =3py2 has positive integer solution (x ,y) with gcd(x ,y)=1 if and only if p= Q(27a4 +45a2 +25) ,where a is a positive integer and Q(27a4 +45a2 +25) is the square free factor of 27a4 +45a2+25 .Thus ,if p?7 or 13(mod30) ,the equation has no positive integer solutions (x ,y) with gcd(x ,y)=1.