陕西师范大学学报（自然科学版）
陝西師範大學學報（自然科學版）
협서사범대학학보（자연과학판）
JOURNAL OF SHAANXI NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)
2015年
3期
18-20
,共3页
梁丽%伍国兴%陈飞%商绍强
樑麗%伍國興%陳飛%商紹彊
량려%오국흥%진비%상소강
矩阵方程%正定解%CS分解%Brouwer不动点定理
矩陣方程%正定解%CS分解%Brouwer不動點定理
구진방정%정정해%CS분해%Brouwer불동점정리
matrix equation%positive definite solution%the CS decomposition theorem%the Brou-wer fixed point theorem
研究了矩阵方程 Xα＋A *X －βA ＝I 的 Hermite 正定解的存在性问题。首先，给出矩阵方程有解的充分必要条件，即存在一个 Hermite 正定阵 M，使得矩阵 A 满足如下的分解：A＝（M*M）β2αN；其次，在所得结论的基础上，利用 CS 分解定理，得到矩阵方程有解的另一个充分必要条件：存在酉矩阵 P、Q 以及对角矩阵C ＞0，D≥0，使得 A＝P *CβαQDP ，其中 C 2＋D 2＝I，CP＝PC，此时方程的解可表示为 X＝（P *C2 P）α；最后利用 Brouwer 不动点定理，证明若‖A‖≤1βα（）槡（）ββα＋αα＋，则矩β阵方程在区间βα＋βI ，[]I 上有解 X 。
研究瞭矩陣方程 Xα＋A *X －βA ＝I 的 Hermite 正定解的存在性問題。首先，給齣矩陣方程有解的充分必要條件，即存在一箇 Hermite 正定陣 M，使得矩陣 A 滿足如下的分解：A＝（M*M）β2αN；其次，在所得結論的基礎上，利用 CS 分解定理，得到矩陣方程有解的另一箇充分必要條件：存在酉矩陣 P、Q 以及對角矩陣C ＞0，D≥0，使得 A＝P *CβαQDP ，其中 C 2＋D 2＝I，CP＝PC，此時方程的解可錶示為 X＝（P *C2 P）α；最後利用 Brouwer 不動點定理，證明若‖A‖≤1βα（）槡（）ββα＋αα＋，則矩β陣方程在區間βα＋βI ，[]I 上有解 X 。
연구료구진방정 Xα＋A *X －βA ＝I 적 Hermite 정정해적존재성문제。수선，급출구진방정유해적충분필요조건，즉존재일개 Hermite 정정진 M，사득구진 A 만족여하적분해：A＝（M*M）β2αN；기차，재소득결론적기출상，이용 CS 분해정리，득도구진방정유해적령일개충분필요조건：존재유구진 P、Q 이급대각구진C ＞0，D≥0，사득 A＝P *CβαQDP ，기중 C 2＋D 2＝I，CP＝PC，차시방정적해가표시위 X＝（P *C2 P）α；최후이용 Brouwer 불동점정리，증명약‖A‖≤1βα（）상（）ββα＋αα＋，칙구β진방정재구간βα＋βI ，[]I 상유해 X 。
The existence of the Hertime positive definite solution of matrix equation Xα+A*X -βA=I is investigated.The matrix equation has a solution X if and only ifA admits the following factorization:A=(M*M)β2αN .By the CS decomposition theorem,the new necessary and sufficient conditions for the exist-ence of the solution are obtained.The matrix equation has a solution if and only if there exist unitary ma-trices P and Q,and diagonal matrices C>0 and D≥0 with C2 +D2 =I such that A=P *CβαQDP.In this 1 case,X=(P*C2P)α is a solution;In the end,using the Brouwer fixed point theorem,if ‖A‖ ≤βα( )( )ββα+αα+β,then equation has a solution x∈ βα+βI ,[ ]I .
